一文讲透微积分的本质

伟大的发现会成为未来的常识。

01

微积分的本质

“微积分的基本定理”是微积分的重要知识。打比方来说，这 就相当于金枪鱼中珍贵的鱼腩部分。高中的教科书里一般都会涉及 这方面的内容，比如“微分和积分互为逆运算”等。

这个表述确实没有错误。如果说是否正确，那当然是对的。

“微分和积分互为逆运算”这句话表述有些过于简洁，它具体的意思是什么呢？我非常希望大家能理解其本质。

大家是否曾觉得圆和球是相似的东西？关于圆和球存在以下 表述：

（1）“圆的面积”的微分就是“圆的周长”；

（2）“球的体积”的微分就是“球的表面积”。这些表述有些让人摸不着头脑，果真如此吗？

（1）半径为r的圆的面积是

对r微分后得出

这与半径为r的圆周长完全一样。

（2）半径为r的球的体积是

对r微分后得出

这是半径为r的球的表面积。

（1）设半径为r的圆（圆板）的面积是关于r的函数：

依照我们的老办法，现在思考“圆的半径增加Δr 时，面积会 增加多少”。

请观察图 95 中的大圆。圆的半径增加Δr时，哪里会增加呢？增加的部分是薄圆环。这个环状面积大致可以表示为：

圆的周长×Δr

即面积增加的部分（ΔS）为

ΔS ≈圆的周长×Δr

在这里，出现了一个符号“约等于”（≈）。因为外侧圆的周长 稍微比内侧圆的周长大一些。虽说有必要使用约等于号，但是总会 让人觉得不严谨。如果可以的话，还是尽可能转化为等号。

因此，首先将式子的两边除以Δr，因为

取Δ 0 r → 时

的极限。这样一来，去掉“约”，即为

所以“圆的面积”的微分=“圆的周长”成立。

（2）我们用和（1）相同的思路来思考 “球的体积”的微分 = “球的表面积”。

半径为r的球的体积为

与圆的情况一样，我们来思考“球的半径增加Δr时，体积会增加 多少”。

根据图 96 可知，体积增加的部分是球外侧很薄的那一部分皮。假设球为乒乓球，可以说增加的部分是用赛璐珞做成的部分（乒乓 球本身）。为了便于观察，图 96 中的球体增加了较为夸张的厚度。这层薄皮的体积大致为

球的表面积×Δr

也就是说，体积增加的部分ΔV为

和圆的做法一样，两边除以Δr，取Δ 0 r → 时

的极限，得到

与刚刚的“圆的面积”的微分是“圆的周长”同理，可知“球 的体积”的微分=“球的表面积”成立。

根据以上证明可知，本节开篇所讲（1）、（2）虽然让人觉得不 可思议，但确实都是成立的。

实际上，这个关系就是“微积分的基本定理”。但是这其实是从不同的角度 讲解了相同的内容。详细来说即为以下内容。

第一，我们可以认为“圆面积的微分”最终就是（在使Δr 趋向于 0 的极限情况下）把圆分割成薄圆环状。也就是说，粗略来讲 的话，微分就是从圆板上多个同心圆之间排列的薄圆环中，取出 1 个薄圆环。另一方面，积分则是累加极薄圆环的面积从而求出圆的 面积（图 97）。

圆环的面积（≈ L( r)Δ r）等于圆的周长乘以Δr，累加所有圆环 面积就是圆的面积。所以圆的面积等于

即

成立。将式子两边除以2π，得出

第二，关于球的内容，累加“表面积×Δr ”，就能求出球整体 的体积。所以

成立。

将式子两边除以4π，得出

把微分公式

代入，得出积分公式

即“分割”成较小部分的操作是微分，相反，“累加”较小部分的 操作是积分（图 98）。

微分和积分就像硬币的正反面，是完全相反的关系。

02

基本定理的使用方法

真正理解了“微积分的基本定理”，就会觉得这东西并不复杂。但是，这个定理的厉害之处在于应用范围很广。虽然看起来很普 通，但是很实用。

比如说“幂函数的微分公式”是

我们以此来尝试推导“幂函数的积分公式”。

根据微积分的基本定理可知，幂函数的微分公式的意思可以用 图 99 来表示。

即幂函数的微分公式的意思是：

改变α的值就可以不断列举出：

把这些式子（也可以说是句子）依次分别除以 3、4，可以 得出：

积分式子即使无限地写下去，其意思也十分简单。

也就是说，一般“指数增加 1”后写在分母和x的右上角，即

但是，有一点必须要注意。

实际上到目前为止，我们使用“积分”这个词时，意思是有 些不清晰的。比如说，在刚刚解释的幂函数中，微分

可以得到

但是，还存在其他函数，其微分结果也为

这里，我们漏掉 了微分得 0 的函数。问题就在于此。即如果将

微分的话，其结果也得

“微分得 0 的函数”也就是“没有变化的函数”，这种函数叫作 “常数函数”。常数函数的斜率为 0，即对于任何 x 值函数的结果都 相同。设常数函数值为C，则可以写成

如图 100 所示，常数函数的函数值没有变化。其中的常数C，可以 是 100，可以是 -50，也可以是 10 万亿。重要的是C“没有变化”， 而不是数值本身是大是小。

这是幂函数的积分公式。

对f( x) 的微分进行积分得出的函数，叫作“f ( x) 的原函数”， 写作F ( x)，即

原函数中始终存在“一项不定数值 C（不定项）”。在这里，“通过 积分求出原函数”，这叫作不定积分。相反，像之前提到求取面积 或者体积的积分，叫作定积分。不定积分和定积分不同，原则上不 写“从哪里到哪里的积分”。

多出的这个 C，就像多余的装饰品让人无法平静，不过可以不 用在意。因为在计算面积等问题时，C 就会消失。

例如，图 101 中灰色部分的面积，用定积分符号表示的话， 写作

这个定积分的值为

这里有一条向右上方倾斜 45°的直线y x = 。

从x =1到x = 2之 间的面积是多少（图 102）？

因为灰色部分是梯形，所以可以用（上底 +下底） ×高 ÷ 2 的 公式计算面积。 图中的梯形往左边倾倒，上底的值为x =1时y的值， y = x=1。 下底也一样，为x = 2时y的值，y = x= 2。 高是2 − 1= 1，所以面积是

另一方面，使用积分公式可得

这与梯形面积公式计算出来的结果完全相等。

下面，我们来看抛物线的例子。

图 103 是抛物线部分图像。计算从x =1 到x = 2 的面 积。这次的图无法再使用“梯形面积公式”，所以只能使用积分。

套用积分公式得出

看，一瞬间就可以得出答案。没有积分似乎很难计算出来。不得不 说，积分真是太厉害了。

顺便说一下，前文说到圆的面积、球的表面积时出现了公式

这里只是把x换成了r，是幂函数的积分公式的特殊情况（分别为β =1、β = 2）。

03

近似和忽略

微积分的本质在于近似与忽略。近似指的是忽 略一些东西，只给出大概的答案。

即使是复杂的形状，也可以将其视为简单长方形的组合（积 分），函数在局部可以视为切线或者抛物线（微分），这个思考角度 才是微积分的要领。

重要的是不要在意细节。不在意细小的部分，“用直线段近似 函数图像”就可以搞清楚容积最大的冰激凌蛋卷筒是什么形状，也可以“把曲线看作折线的组合”来计算悬链线的长度。虽然整体计算很难，但分成较小的部分就会变成简单的累加。这就是微积分厉害之处。

实际上，这种思想并不仅限于微积分，可以说整个数学都是这样的。微积分则是了解该方法有效性的最好素材。

实际上，我们居住的现实世界中，近似可以说是无处不在。比如，不存在无限小的东西（无法比基本粒子更小），宇宙也并非无限广阔。

但是，在实际的微积分中，要考虑无限小的量，或者无限大的空间，这是近似。忽略基本粒子的大小，搁置宇宙的边界限制，这种想法或许与事实相悖，但是这种方法给我们带来的恩惠却不可估量。

微分积分的内容是从细致分割图形开始讲起的，之后又讲到自然常数e，最后又到悬链线的长度。读到这里，大家是不是已经自然而然地认可“近似和忽略”的思考方法呢？如果是的话，那么这就是很大的进步了。

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