回归-案例研究
Estimating the Combat Power(CP) of a pokemon after evolution
我们期望根据已有的宝可梦进化前后的信息，来预测某只宝可梦进化后的cp值的大小
首先根据已有的data来确定Senario，我们拥有宝可梦进化前后cp值的这样一笔数据，input是进化前的宝可梦(包括它的各种属性)，output是进化后的宝可梦的cp值；因此我们的data是labeled，使用的Senario是Supervised Learning
然后根据我们想要function的输出类型来确定Task，我们预期得到的是宝可梦进化后的cp值，是一个scalar，因此使用的Task是Regression
关于Model，选择很多，这里采用的是Non-linear Model
： 表示一只宝可梦，用下标表示该宝可梦的某种属性
：表示该宝可梦进化前的cp值
： 表示该宝可梦是属于哪一种物种，比如妙瓜种子、皮卡丘...
：表示该宝可梦的hp值即生命值是多少
： 代表该宝可梦的重重量
： 代表该宝可梦的高度
： 表示我们要找的function
： 表示function的output，即宝可梦进化后的cp值，是一个scalar
如何选择一个function的模型呢？毕竟只有确定了模型才能调参。这里没有明确的思路，只能凭经验去一种种地试
y代表进化后的cp值，代表进化前的cp值，w和b代表未知参数，可以是任何数值
根据不同的w和b，可以确定不同的无穷无尽的function，而这个抽象出来的式子就叫做model，是以上这些具体化的function的集合，即function set
实际上这是一种Linear Model，但只考虑了宝可梦进化前的cp值，因而我们可以将其扩展为：
====
x~i~： an attribute of input X ( x~i~ is also called feature，即特征值)
w~i~：weight of x~i~
b： bias
：用上标来表示一个完整的object的编号，表示第i只宝可梦(下标表示该object中的component)
：用表示一个实际观察到的object输出，上标为i表示是第i个object
注：由于regression的输出值是scalar，因此里面并没有component，只是一个简单的数值；但是未来如果考虑structured Learning的时候，我们output的object可能是有structured的，所以我们还是会需要用上标下标来表示一个完整的output的object和它包含的component
为了衡量function set中的某个function的好坏，我们需要一个评估函数，即==Loss function==，损失函数，简称L；loss function是一个function的function
input：a function；
output：how bad/good it is
由于，即f是由b和w决定的，因此input f就等价于input这个f里的b和w，因此==Loss function实际上是在衡量一组参数的好坏==
之前提到的model是由我们自主选择的，这里的loss function也是，最常用的方法就是采用类似于方差和的形式来衡量参数的好坏，即预测值与真值差的平方和；这里真正的数值减估测数值的平方，叫做估测误差，Estimation error，将10个估测误差合起来就是loss function
如果越大，说明该function表现得越不好；越小，说明该function表现得越好
下图中是loss function的可视化，该图中的每一个点都代表一组(w,b)，也就是对应着一个function；而该点的颜色对应着的loss function的结果L(w,b)，它表示该点对应function的表现有多糟糕，颜色越偏红色代表Loss的数值越大，这个function的表现越不好，越偏蓝色代表Loss的数值越小，这个function的表现越好
比如图中用红色箭头标注的点就代表了b=-180 , w=-2对应的function，即，该点所在的颜色偏向于红色区域，因此这个function的loss比较大，表现并不好
我们已经确定了loss function，他可以衡量我们的model里面每一个function的好坏，接下来我们要做的事情就是，从这个function set里面，挑选一个最好的function
挑选最好的function这一件事情，写成formulation/equation的样子如下：
，或者是
也就是那个使最小的或，就是我们要找的或(有点像极大似然估计的思想)
利用线性代数的知识，可以解得这个closed-form solution，但这里采用的是一种更为普遍的方法——==gradient descent(梯度下降法)==
上面的例子比较简单，用线性代数的知识就可以解；但是对于更普遍的问题来说，gradient descent的厉害之处在于，只要是可微分的，gradient descent都可以拿来处理这个，找到表现比较好的parameters
以只带单个参数w的Loss Function L(w)为例，首先保证是可微的
我们的目标就是找到这个使Loss最小的，实际上就是寻找切线L斜率为0的global minima最小值点(注意，存在一些local minima极小值点，其斜率也是0) 有一个暴力的方法是，穷举所有的w值，去找到使loss最小的，但是这样做是没有效率的；而gradient descent就是用来解决这个效率问题的 * 首先随机选取一个初始的点 (当然也不一定要随机选取，如果有办法可以得到比较接近的表现得比较好的当初始点，可以有效地提高查找的效率) * 计算在的位置的微分，即，几何意义就是切线的斜率 * 如果切线斜率是negative负的，那么就应该使w变大，即往右踏一步；如果切线斜率是positive正的，那么就应该使w变小，即往左踏一步，每一步的步长step size就是w的改变量 w的改变量step size的大小取决于两件事 * 一是现在的微分值有多大，微分值越大代表现在在一个越陡峭的地方，那它要移动的距离就越大，反之就越小； * 二是一个常数项η，被称为==learning rate==，即学习率，它决定了每次踏出的step size不只取决于现在的斜率，还取决于一个事先就定好的数值，如果learning rate比较大，那每踏出一步的时候，参数w更新的幅度就比较大，反之参数更新的幅度就比较小 如果learning rate设置的大一些，那机器学习的速度就会比较快；但是learning rate如果太大，可能就会跳过最合适的global minima的点 * 因此每次参数更新的大小是 η，为了满足斜率为负时w变大，斜率为正时w变小，应当使原来的w减去更新的数值，即 ηηηη
此时对应的斜率为0，我们找到了一个极小值local minima，这就出现了一个问题，当微分为0的时候，参数就会一直卡在这个点上没有办法再更新了，因此通过gradient descent找出来的solution其实并不是最佳解global minima
但幸运的是，在linear regression上，是没有local minima的，因此可以使用这个方法
今天要解决的关于宝可梦的问题，是含有two parameters的问题，即
当然，它本质上处理单个参数的问题是一样的
实际上，L 的gradient就是微积分中的那个梯度的概念，即
可视化效果如下：(三维坐标显示在二维图像中，loss的值用颜色来表示)
横坐标是b，纵坐标是w，颜色代表loss的值，越偏蓝色表示loss越小，越偏红色表示loss越大
每次计算得到的梯度gradient，即由和组成的vector向量，就是该等高线的法线方向(对应图中红色箭头的方向)；而ηη的作用就是让原先的朝着gradient的方向即等高线法线方向前进，其中η(learning rate)的作用是每次更新的跨度(对应图中红色箭头的长度)；经过多次迭代，最终gradient达到极小值点
注：这里两个方向的η(learning rate)必须保持一致，这样每次更新坐标的step size是等比例缩放的，保证坐标前进的方向始终和梯度下降的方向一致；否则坐标前进的方向将会发生偏移
gradient descent有一个令人担心的地方，也就是我之前一直提到的，它每次迭代完毕，寻找到的梯度为0的点必然是极小值点，local minima；却不一定是最小值点，global minima
这会造成一个问题是说，如果loss function长得比较坑坑洼洼(极小值点比较多)，而每次初始化的取值又是随机的，这会造成每次gradient descent停下来的位置都可能是不同的极小值点；而且当遇到梯度比较平缓(gradient≈0)的时候，gradient descent也可能会效率低下甚至可能会stuck卡住；也就是说通过这个方法得到的结果，是看人品的(滑稽
但是！在==linear regression==里，loss function实际上是convex的，是一个凸函数，是没有local optimal局部最优解的，他只有一个global minima，visualize出来的图像就是从里到外一圈一圈包围起来的椭圆形的等高线(就像前面的等高线图)，因此随便选一个起始点，根据gradient descent最终找出来的，都会是同一组参数
现在我们来求具体的L对w和b的偏微分
根据gradient descent，我们得到的中最好的参数是b=-188.4, w=2.7
我们需要有一套评估系统来评价我们得到的最后这个function和实际值的误差error的大小；这里我们将training data里每一只宝可梦 进化后的实际cp值与预测值之差的绝对值叫做，而这些误差之和Average Error on Training Data为
What we really care about is the error on new data (testing data)
当然我们真正关心的是generalization的case，也就是用这个model去估测新抓到的pokemon，误差会有多少，这也就是所谓的testing data的误差；于是又抓了10只新的pokemon，算出来的Average Error on Testing Data为；可见training data里得到的误差一般是要比testing data要小，这也符合常识
我们有没有办法做得更好呢？这时就需要我们重新去设计model；如果仔细观察一下上图的data，就会发现在原先的cp值比较大和比较小的地方，预测值是相当不准的
实际上，从结果来看，最终的function可能不是一条直线，可能是稍微更复杂一点的曲线
这5个model的training data的表现：随着的高次项的增加，对应的average error会不断地减小；实际上这件事情非常容易解释，实际上低次的式子是高次的式子的特殊情况(令高次项对应的为0，高次式就转化成低次式)
也就是说，在gradient descent可以找到best function的前提下(多次式为Non-linear model，存在local optimal局部最优解，gradient descent不一定能找到global minima)，function所包含的项的次数越高，越复杂，error在training data上的表现就会越来越小；但是，我们关心的不是model在training data上的error表现，而是model在testing data上的error表现
在training data上，model越复杂，error就会越低；但是在testing data上，model复杂到一定程度之后，error非但不会减小，反而会暴增，在该例中，从含有项的model开始往后的model，testing data上的error出现了大幅增长的现象，通常被称为overfitting过拟合
因此model不是越复杂越好，而是选择一个最适合的model，在本例中，包含的式子是最适合的model
之前我们的model只考虑了宝可梦进化前的cp值，这显然是不对的，除了cp值外，还受到物种的影响
因此我们重新设计model：
也就是根据不同的物种，设计不同的linear model(这里)，那如何将上面的四个if语句合并成一个linear model呢？
这里引入δ条件表达式的概念，当条件表达式为true，则δ为1；当条件表达式为false，则δ为0，因此可以通过下图的方式，将4个if语句转化成同一个linear model
有了上面这个model以后，我们分别得到了在training data和testing data上测试的结果：
考虑所有可能有影响的参数，设计出这个最复杂的model：
算出的training error=1.9，但是，testing error=102.3！这么复杂的model很大概率会发生overfitting(按照我的理解，overfitting实际上是我们多使用了一些input的变量或是变量的高次项使曲线跟training data拟合的更好，但不幸的是这些项并不是实际情况下被使用的，于是这个model在testing data上会表现得很糟糕)，overfitting就相当于是那个范围更大的韦恩图，它包含了更多的函数更大的范围，代价就是在准确度上表现得更糟糕
regularization可以使曲线变得更加smooth，training data上的error变大，但是 testing data上的error变小。有关regularization的具体原理说明详见下一部分
原来的loss function只考虑了prediction的error，即；而regularization则是在原来的loss function的基础上加上了一项，就是把这个model里面所有的的平方和用λ加权(其中i代表遍历n个training data，j代表遍历model的每一项)
也就是说，我们期待参数越小甚至接近于0的function，为什么呢？
因为参数值接近0的function，是比较平滑的；所谓的平滑的意思是，当今天的输入有变化的时候，output对输入的变化是比较不敏感的
举例来说，对这个model，当input变化，output的变化就是，也就是说，如果越小越接近0的话，输出对输入就越不sensitive敏感，我们的function就是一个越平滑的function；说到这里你会发现，我们之前没有把bias——b这个参数考虑进去的原因是bias的大小跟function的平滑程度是没有关系的，bias值的大小只是把function上下移动而已
那为什么我们喜欢比较平滑的function呢？
如果我们有一个比较平滑的function，由于输出对输入是不敏感的，测试的时候，一些noises噪声对这个平滑的function的影响就会比较小，而给我们一个比较好的结果
注：这里的λ需要我们手动去调整以取得最好的值
λ值越大代表考虑smooth的那个regularization那一项的影响力越大，我们找到的function就越平滑
观察下图可知，当我们的λ越大的时候，在training data上得到的error其实是越大的，但是这件事情是非常合理的，因为当λ越大的时候，我们就越倾向于考虑w的值而越少考虑error的大小；但是有趣的是，虽然在training data上得到的error越大，但是在testing data上得到的error可能会是比较小的
下图中，当λ从0到100变大的时候，training error不断变大，testing error反而不断变小；但是当λ太大的时候(>100)，在testing data上的error就会越来越大
==我们喜欢比较平滑的function，因为它对noise不那么sensitive；但是我们又不喜欢太平滑的function，因为它就失去了对data拟合的能力；而function的平滑程度，就需要通过调整λ来决定==，就像下图中，当λ=100时，在testing data上的error最小，因此我们选择λ=100
注：这里的error指的是
Regularization -> redefine the loss function
关于overfitting的问题，很大程度上是由于曲线为了更好地拟合training data的数据，而引入了更多的高次项，使得曲线更加“蜿蜒曲折”，反而导致了对testing data的误差更大
回过头来思考，我们之前衡量model中某个function的好坏所使用的loss function，仅引入了真实值和预测值差值的平方和这一个衡量标准；我们想要避免overfitting过拟合的问题，就要使得高次项对曲线形状的影响尽可能小，因此我们要在loss function里引入高次项(非线性部分)的衡量标准，也就是将高次项的系数也加权放进loss function中，这样可以使得训练出来的model既满足预测值和真实值的误差小，又满足高次项的系数尽可能小而使曲线的形状比较稳定集中
以下图为例，如果loss function仅考虑了这一误差衡量标准，那么拟合出来的曲线就是红色虚线部分(过拟合)，而过拟合就是所谓的model对training data过度自信, 非常完美的拟合上了这些数据, 如果具备过拟合的能力, 那么这个方程就可能是一个比较复杂的非线性方程 , 正是因为这里的和使得这条虚线能够被弯来弯去, 所以整个模型就会特别努力地去学习作用在和上的c、d参数. 但是在这个例子里，我们期望模型要学到的却是这条蓝色的曲线. 因为它能更有效地概括数据.而且只需要一个就能表达出数据的规律.
或者是说, 蓝色的线最开始时, 和红色线同样也有c、d两个参数, 可是最终学出来时, c 和 d 都学成了0, 虽然蓝色方程的误差要比红色大, 但是概括起数据来还是蓝色好
这也是我们通常采用的方法，我们不可能一开始就否定高次项而直接只采用低次线性表达式的model，因为有时候真实数据的确是符合高次项非线性曲线的分布的；而如果一开始直接采用高次非线性表达式的model，就很有可能造成overfitting，在曲线偏折的地方与真实数据的误差非常大。我们的目标应该是这样的：
在无法确定真实数据分布的情况下，我们尽可能去改变loss function的评价标准
那我们如何保证能学出来这样的参数呢? 这就是 L1 L2 正规化出现的原因.
之前的loss function仅考虑了这一误差衡量标准，而L1 L2正规化就是在这个loss function的后面多加了一个东西，即model中跟高次项系数有关的表达式；
相对来说，L2要更稳定一些，L1的结果则不那么稳定，如果用p表示正规化程度，上面两式可总结如下：
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